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彭罗斯:不考虑生物化学的诺贝尔物理学奖得主不是好的数学家

撰文 | 倪忆

2020年诺贝尔物理学奖被颁发罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose),莱因哈特·根策尔(Reinhard Genzel),和安德里亚·盖兹 (Andrea Ghez),奖赏他们三人在黑洞研讨方面作出的杰出奉献。

三位获奖者中年岁最大的罗杰·彭罗斯爵士出生于1931年,是一位英国数学家、物理学家和科普作家。他的原始获奖作业是1965年宣布的一篇只要三页的数学论文,在适当广泛的条件下证明晰黑洞内奇点的存在。描绘了更一般的旋转黑洞。)这或许是诺贝尔物理学奖第一次颁发给一个纯数学作业。彭罗斯是物理学家霍金的老友,他俩后来协作把彭罗斯的作业推行到宇宙学范畴,证明晰大爆炸必定始于一个奇点。

霍金与彭罗斯

彭罗斯的研讨爱好十分广泛,既有前沿的数学和物理,又有对人工智能和神经科学的深化考虑,还有面向群众的兴趣数学。他年轻时就跟他的父亲莱昂内尔·彭罗斯一同规划了不行能在实践空间中完成的彭罗斯三角。

彭罗斯三角

彭罗斯三角开始由瑞典艺术家奥斯卡·路透斯沃德在1934年发现,后由彭罗斯父子在五十年代独立发现并遍及。路透斯沃德听说患有失读症,对估量物体的间隔和巨细有妨碍。他的艺术家庭鼓舞他在家作画和雕塑。1934年,作为一个只要18岁的学生,他就发明晰不行能的三角。1937年他又发明晰不行能阶梯。他一生中画了许多许多不行能构形。1982年,瑞典发行了“不行能三角”等邮票,来留念他。

上世纪80年代瑞典为留念Oscar Reutersv?rd发行的邮票

彭罗斯三角能够运用视觉幻觉来“完成”。比方下图中坐落澳大利亚珀斯的这个雕塑,从特定方向看便是彭罗斯三角。

视觉幻觉作用动图

奥地利的一个彭罗斯三角

这个比利时的彭罗斯三角采用了别的一种幻觉规划:看起来像是直的,实践是弯的。

彭罗斯父子还发明了不行能完成的彭罗斯阶梯。

彭罗斯阶梯

彭罗斯阶梯是荷兰版画大师埃舍尔作品《上升与下降》的主题。

在电影《盗梦空间》里友谊出演

彭罗斯最闻名的兴趣数学发现当属他上世纪70年代发现的彭罗斯镶嵌(Penrose tiling) 。这儿说的镶嵌便是用地板砖无缝铺满平面。咱们最常见的地板砖是方形的,由于用相同巨细的方形很简单铺满平面。咱们也能够用相同形状和巨细的三角形来铺满平面。

用香瓜的玩具拼出来的图

恣意形状的三角形都能够铺满平面

恣意形状的四边形都能够铺满平面

乃至这种奇形怪状的也能

有了三角形和四边形,下一个形状便是五边形。但是,相同形状和巨细的五边形不能拿来铺满平面。不管怎样铺,总会有缝隙。

下一个是正六边形,能够铺满平面。勤劳的小蜜蜂建立的蜂巢便是这种形状。

前面几种铺满平面的方法都是周期性的,意思便是能够把一切地板砖朝某个方向平行移动一段间隔,得到的铺法跟本来的仍是分毫不差。比方方形的铺法,能够沿水平方向平移一个方格边长的间隔,也能够沿竖直方向平移相同的间隔,得到的铺法跟本来的相同。这些铺法实践上都是双周期性的,也便是说沿着两个无关的方向平移后还不改动。在评论平面镶嵌时,“周期性”通常指的便是双周期性。

能够证明,假如只用一种全等的多边形铺满平面,得到的镶嵌必定是周期性的。闻名华裔逻辑学家王浩在六十年代提出如下问题:能否只用有限种全等的多边形得到非周期性的平面镶嵌?他的学生Robert Berger在1964年构造出第一个非周期性的比方,需求20426种多边形。Donald Knuth和Raphael Robinson等人先后给出需求多边形品种更少的比方,所需的多边形品种被降到6种。

王浩开始研讨运用这种上色的正方形(被称为王浩骨牌)铺满平面,使得相邻正方形沿着相同色彩拼起来。王浩镶嵌能够修改为不上色的多边形镶嵌。

彭罗斯镶嵌是第一个只需求两种多边形的比方。这儿的地板砖是两种不同形状但具有相同边长的菱形。一个菱形的四个角的视点分别是36°,144°,36°,144°,别的一个菱形的四个视点分别是72°,108°,72°,108°。

彭罗斯运用的几许形状

用这两种菱形能够造出无数个非周期性的铺法,比方下图。

令人惊异的是,虽然上图里的彭罗斯镶嵌不具有周期性,它依然有五重对称性。也便是说,把这个图形绕某个中心点旋转72°,仍是得到本来的图形。前面讲到的用三角形、四边形和正六边形铺满平面的方法都不具有五重对称性。

彭罗斯镶嵌的别的一种方法是运用以下两种“风筝”和“飞镖”形状的地板砖。

彭罗斯镶嵌的拼图积木

彭罗斯镶嵌还有许多美妙的性质,跟一些深入的数学理论有关。数学科普作家马丁·加德纳(Martin Gardner) 曾写过多篇文章介绍彭罗斯镶嵌。

加德纳作品封面

彭罗斯镶嵌呈现在许多规划中,像下面这张相片里彭罗斯爷爷脚下的地板。

这张相片拍摄于2010年德州农机大学Mitchell根底物理与地理研讨所。

彭罗斯作业的牛津大学数学研讨所

牛津大学数学研讨所出品的杯子

旧金山跨湾换乘纽带的外墙

真的有这种洗手间瓷砖

还有这种

彭罗斯镶嵌不仅仅是数学家的玩具,它还跟化学里的一个严峻发现有着密切联系。咱们知道,许多物质都是由原子组成。有一类叫作“晶体”的固体,其间的原子(切当地说,还包含分子和离子。下同。)摆放十分有规则,具有相似前面所说的周期性。

在冰的晶体结构里,咱们能够看到六边形铺满平面的方法。每个六边形的极点处是一个氧原子。

H-O-H键角不确定度为±1.5°

在食盐的晶体结构里,咱们能够看到正方形铺满平面的方法,每个正方形的极点处是一个氯原子或钠原子。

彭罗斯意识到,彭罗斯镶嵌或许也对应于某种物质的原子摆放。他在1976年的一封给加德纳的信中写道:

“这些事很有或许在生物学上具有某种重要性。你会记住某些病毒呈正十二面体和正二十面体,它们怎么做到这一点的,好像总是令人疑惑不解。不过假如以安曼的非周期性六面体为基本单位,那么咱们就会得到一些准周期性‘晶体’,其间就包含此类看似不行能存在的、沿着十二面体或许二十面体各平面的 (晶体学上的) 解理方向。病毒是否有或许会以某品种似这样的包含非周期性基本单位的方法成长——仍是说这种主意太想入非非了?”

腺病毒的结构是正二十面体,每个极点处有五个小三角形。

上世纪八十年代初,以色列化学家丹·谢赫特曼 (Dan Shechtman) 发现了一种新的固体资料,它的电子衍射图样呈现十重对称性,意味着原子摆放不行能具有周期性。这跟彭罗斯镶嵌十分相似,但是谢赫特曼其时并不知道彭罗斯镶嵌,在他人的协助下才弄清了其间的数学。这种物质被命名为“准晶” (quasicrystal) 。后来人们又发现了具有其它品种对称性的准晶,包含八重、十重、十二重等在晶体里不行能呈现的对称性。

铝钯锰合金准晶的原子模型。

中国科学院郭可信团队是准晶的前期研讨者,独立发现跟谢赫特曼的资料有相似对称性的资料,并首要发现八重对称性准晶。

准晶的存在严峻违背了其时已知的晶体学知识,虽然它在数学上是或许的。包含双料诺贝尔奖得主鲍林在内的许多化学家都不信任准晶理论,斥之为“准科学”。

谢赫特曼解说准晶的原子模型

但是跟着越来越多准晶的发现,干流化学界逐步接受了准晶。2011年,谢赫特曼一人独享当年的诺贝尔化学奖。

谢赫特曼终获认可

所以彭罗斯镶嵌是这样的数学:它由诺贝尔物理学奖得主发现,又跟诺贝尔化学奖作业密切相关。前述彭罗斯函件里提到了病毒结构,或许哪天咱们还会在诺贝尔生理学或医学奖的颁奖词里看到彭罗斯镶嵌?

注释

一开始我们就知道黑洞的数学解中存在点状奇点, 但黑洞的奇点是包裹在事情视界之内的。许多物理学家以为这个奇点是无法被观测到的。换句话说,这个奇点或许并不存在于实在的黑洞中。这仍是一个有争议的问题。——文小刚

见链接 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Oscar_Reutersv%C3%A4rd ,http://www.anopticalillusion.com/2012/04/impossible-figures-oscar-reutersvard/

路透斯沃德首要发现了不行能阶梯,彭罗斯父子和艺术家埃舍尔分别在1959年和1960年独立发现了这一阶梯。但彭罗斯直到1984年才注意到路透斯沃德的作业。

彭罗斯自己受到了开普勒作业的启示。业余数学家Robert Ammann在1976年独立于彭罗斯发现了彭罗斯镶嵌,John H. Conway和N. G. De Bruijn等人对彭罗斯镶嵌亦有许多奉献。中世纪伊斯兰建筑艺术里也有相似于彭罗斯镶嵌的图画,见文献Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture, Peter J. Lu, Paul J. Steinhardt, Science 23 Feb 2007: Vol. 315, Issue 5815, pp. 1106-1110.

严厉含义下的彭罗斯镶嵌不光是运用这两种菱形,关于怎么沿着边拼接也有要求。所以更切当的说法是运用如下两种图形:

相似上一条注释,严厉含义下这种方法的彭罗斯镶嵌在沿着边拼接时要求相同色彩的弧对在一同。

译文节选自《分形、取子游戏及彭罗斯铺陈》,上海科技教育出版社,作者马丁·加德纳,译者涂泓。

Shechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, J. (1984). "Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry". Physical Review Letters. 53 (20): 1951–1953.

?nal, B; V. Fournée; K.J. Schnitzenbaumer; C. Ghosh; C.J. Jenks; A.R. Ross; T.A. Lograsso; J.W. Evans; P.A. Thiel (2007). "Nucleation and growth of Ag islands on fivefold Al-Pd-Mn quasicrystal surfaces: Dependence of island density on temperature and flux". Physical Review B. 75 (6): 064205.

Z. Zhang, H.Q. Ye and K.H. Kuo, A new icosahedral phase with the m35 symmetry, Philos. Mag. A, 52 (1985) L49-L52.

Wang, N.; Chen, H.; Kuo, K. (1987). "Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry". Physical Review Letters. 59 (9): 1010–1013.

图:香瓜和爸爸正在放生捕捉到的松鼠

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